Question

12．已知f（x）=|x+1|+|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）-|a-1|＜0有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，问题转化为|a-1|＞f（x）_min，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|+|x-1|＜4
?$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\-x-1-x+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x≤1\\ x+1-x+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞1\\ x+1+x-1＜4\end{array}\right.$，
解得：-2＜x≤-1或-1＜x≤1或1＜x＜2，
故不等式的解集为（-2，2）；                                      …（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2，
∴f（x）_min=2，当且仅当（x+1）（x-1）≤0时取等号，
而不等式f（x）-|a-1|＜0有解?|a-1|＞f（x）_min=2，
又|a-1|＞2?a-1＜-2或a-1＞2
故a的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）．                            …（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．