Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦点到相应准线的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线$y=\sqrt{2}$于点Q，求$\frac{1}{{O{P^2}}}+\frac{1}{{O{Q^2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{a^2}{c}-c=1$，然后求解椭圆的方程．
（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出$O{P^2}=\frac{{2{k^2}+2}}{{2{k^2}+1}}$．OQ²=2k²+2．然后求解即可．

解答 解：（1）由题意得，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{a^2}{c}-c=1$，…2分
解得$a=\sqrt{2}$，c=1，b=1．
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．  …4分
（2）由题意知OP的斜率存在．
当OP的斜率为0时，$OP=\sqrt{2}$，$OQ=\sqrt{2}$，所以$\frac{1}{{O{P^2}}}+\frac{1}{{O{Q^2}}}=1$．  …6分
当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\;\\ y=kx\;\end{array}\right.$得（2k²+1）x²=2，解得${x^2}=\frac{2}{{2{k^2}+1}}$，所以${y^2}=\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，
所以$O{P^2}=\frac{{2{k^2}+2}}{{2{k^2}+1}}$． …9分
因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为$y=-\frac{1}{k}x$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{2}\;\\ y=-\frac{1}{k}x\end{array}\right.$得$x=-\sqrt{2}k$，所以OQ²=2k²+2．  …12分
所以$\frac{1}{{O{P^2}}}+\frac{1}{{O{Q^2}}}=\frac{{2{k^2}+1}}{{2{k^2}+2}}+\frac{1}{{2{k^2}+2}}=1$．
综上，可知$\frac{1}{{O{P^2}}}+\frac{1}{{O{Q^2}}}=1$．  …14分．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．