Question

20．在平面直角坐标系xOy中，位于x轴上方的动圆与x轴相切，且与圆x²+y²-2y=0相外切．
（1）求动圆圆心轨迹C的方程式．
（2）若点P（a，b）（a≠0，b≠0）是平面上的一个动点，且满足条件：过点P可作曲线C的两条切线PM和PN，切点M，N连线与OP垂直，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用动圆与x轴相切，且与圆x²+y²-2y=0相外切，建立方程，即可求动圆圆心轨迹C的方程式．
（2）求出过M，N的直线方程为：$\frac{1}{2}ax-y-b=0$，又MN⊥OP，所以k_MN•k_OP=-1，$\frac{1}{2}a•\frac{b}{a}=-1$，所以b=-2，即可证明结论．

解答 解：（1）设动圆圆心C（x，y），（y＞0），
因为动圆与x轴相切，且与圆x²+y²-2y=0相外切，所以$\sqrt{{x^2}+{{（{y-1}）}^2}}-1=|y|$，
又y＞0，化简得：x²=4y，（y＞0）．┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（2）设P（a，b）（a≠0，b≠0），由方程x²=4y，（y＞0）得$y=\frac{1}{4}{x^2}$，两边对x求导得$y'=\frac{1}{2}x$．
设切点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则M点处切线方程为$y-{y_1}=\frac{x_1}{2}（{x-{x_1}}）$．
又${y_1}=\frac{1}{4}{x_1}^2$，整理得：$\frac{1}{2}{x_1}x-y-{y_1}=0$，
又切线过P（a，b），所以$\frac{1}{2}{x_1}a-b-{y_1}=0$．
同理可得：$\frac{1}{2}{x_2}a-b-{y_2}=0$┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（9分）
所以过M，N的直线方程为：$\frac{1}{2}ax-y-b=0$
又MN⊥OP，所以k_MN•k_OP=-1，$\frac{1}{2}a•\frac{b}{a}=-1$，所以b=-2．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
直线MN：$\frac{1}{2}ax-y+2=0$过y轴上的定点（0，2）．┉┉┉┉┉┉┉（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查导数知识的运用，知识综合性强．