Question

15．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosa}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．l与C交于A、B两点．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P（0，-2），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P（0，-2）在l上，l的参数方程为为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入$\frac{1}{5}$x²+y²=1整理得，3t²-10$\sqrt{2}$t+15=0，即可求|PA|+|PB|的值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosa}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），普通方程为C：$\frac{1}{5}$x²+y²=1；
直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，即ρcosθ-ρsinθ=2，l：y=x-2．          …（4分）
（Ⅱ）点P（0，-2）在l上，l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）
代入$\frac{1}{5}$x²+y²=1整理得，3t²-10$\sqrt{2}$t+15=0，
由题意可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=$\frac{10}{3}$$\sqrt{2}$                …（10分）

点评 本题考查三种方程互化，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．