Question

5．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则实数λ的值为3．

Answer 1

分析 计算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，${\overrightarrow{a}}^{2}$，${\overrightarrow{b}}^{2}$，根据（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）得出（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，列方程解出λ．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$-λ${\overrightarrow{b}}^{2}$+（2λ-1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2×1×cos120°=-1，${\overrightarrow{a}}^{2}$=4，${\overrightarrow{b}}^{2}$=1，
∴8-λ+1-2λ=0，解得λ=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，属于中档题．