Question

13．已知$\overrightarrow a=（sinx，cosx），\overrightarrow b=（sinx，sinx），f（x）=2\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）画出函数y=f（x）在区间$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的图象．

Answer 1

分析 （I）根据向量的数量积运算公式二倍角公式化简f（x）即可得出结论；
（II）使用描点法作出图象即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2（sin²x+sinxcosx）=sin2x+2sin²x=sin2x-cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1．
所以f（x）的最小正周期T=π；f（x）的最大值为$\sqrt{2}$+1．
（Ⅱ）函数y=f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上列表为

2x-$\frac{π}{4}$	-$\frac{5π}{4}$	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{2}$
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{3π}{8}$	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{3π}{4}$
sin（2x-$\frac{π}{4}$）	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	0	-1	0	1	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
y=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1	2	1	1-$\sqrt{2}$	1	1+$\sqrt{2}$	2

描点作图如下：

点评 本题考查了平面向量的数量积运算和三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．