Question

21.已知m，n为正整数.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，(1+x)^m≥1+mx；

（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,2…，n；

（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+…+(n+2)ⁿ=(n+3)ⁿ的所有正整数n.

Answer 1

本小题主要考查数学归纳法、数列求和，不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。

解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：

（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，

因为，所以左边右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，

，，于是在不等式两边同乘以得

，

所以.即当时，不等式也成立.

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立.

（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，

于是，.

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，

，

.

即.即当时，不存在满足该等式的正整数.

故只需要讨论的情形：

当时，，等式不成立；

当时，，等式成立；

当时，，等式成立；

当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；

当时，同的情形可分析出，等式不成立.

综上，所求的只有.

解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：

当，且时，，.　　           ①

（ⅰ）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；

（ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，

因为，所以.又因为，所以.

于是在不等式两边同乘以得

，

所以.即当时，不等式①也成立.

综上所述，所证不等式成立.

（Ⅱ）证：当，时，，，

而由（Ⅰ），，

.

（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，

即有.　　　　　②

又由（Ⅱ）可得

，与②式矛盾.

故当时，不存在满足该等式的正整数.

下同解法1.