Question

【题目】函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1 ， x2都有等式f（x1x2）=f（x1）+f（x2）成立．
（1）求f（1）的值．
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．
（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（3x+1）+f（﹣6）≤3．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x1=x2 =1得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）解：令x1 =x2 =﹣1，则f（﹣1）=0，令x1 =﹣1，x2 =x，可得f（﹣x）=f（x），

又定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∴f（x）为偶函数

（3）解：∵f（4）=1，又f（x1 x2 ）=f（x1 ）+f（x2），

∴f（4）+f（4）=f（4×4）=f（16），

∴f（16）+f（4）=f（16×4）=f（64），

∴f（64）=f（4）+f（4）+f（4），∴f（64）=3．

∴f（3x+1）+f（﹣6）≤3，等价于f[﹣6（3x+1）]≤3，

∴f（|﹣6（3x+1）|）≤f（64），

∴|﹣6（3x+1|≤3 且3x+1≠0，

解得x∈[﹣ ，﹣ ）∪（﹣ ， ]

【解析】（1）令x1=x2 =1，可得f（1）的值．（2）令x1 =x2 =﹣1，求得f（﹣1）=0，令x1 =﹣1，x2 =x，可得f（﹣x）=f（x），从而得出结论．（3）由题意可得不等式等价于f[﹣6（3x+1）]≤3，即f（|﹣6（3x+1）|）≤f（64），故有|﹣6（3x+1|≤3，且3x+1≠0，由此求得x的范围．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的性质和函数的奇偶性，需要了解函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能得出正确答案．