Question

20．设函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx+a的最大值为2+$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（$\frac{θ}{2}$）=$\frac{11}{5}$，θ∈（$\frac{π}{2}$，π），求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+1+a$，由此能求出a．
（Ⅱ）由已知得$f（\frac{θ}{2}）$=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+2=\frac{11}{5}$，从而利用正弦函加法定理得到sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，由此能求出cos2θ．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos²x+2sinxcosx+a
=cos2x+sin2x+1+a
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+1+a$，
且函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx+a的最大值为2+$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}+1+a=2+\sqrt{2}$，
解得a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2$，
∵f（$\frac{θ}{2}$）=$\frac{11}{5}$，θ∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴$f（\frac{θ}{2}）$=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+2=\frac{11}{5}$，
∴sin（θ+$\frac{π}{4}$）=sinθcos$\frac{π}{4}$+cosθsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，
∴1+sin2θ=$\frac{1}{25}$，∴sin2θ=-$\frac{24}{25}$，
∵θ∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cos2θ=$±\sqrt{-（-\frac{24}{25}）^{2}}$=±$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查三角函数中参数的求法，考查二倍角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意三角函数加法定理和恒等变换的合理运用．