Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且，平面平面，，，O为的中点．

（1）求证：

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接，，通过证明、，证得平面，从而证得.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.

（1）如图，连接，，在矩形中，，O为的中点，所以三角形和三角形为等腰直角三角形，所以．

因为，，所以为正三角形，

又O为的中点，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，

所以平面C.

又平面，所以，又，

所以平面，

又平面，

所以．

（2）取的中点E，连接OE，则，所以OA，OB，OE两两垂直，

如图，以O为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则0，，0，，0，，，

0，，，，0，．

设平面OBC的法向量为y，，则，即，

令，得0，是平面OBC的一个法向量，

同理可求得平面的一个法向量为1，，

则，，

由图知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为．