Question

在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f(x)＝k(x－2)＋3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，探究正实数m取何值时，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；仅有两条；仅有三条；仅有四条.

Answer 1

显然直线f(x)＝k(x－2)＋3与x轴、y轴的交点坐标分别为A(2－，0)，B(0,3－2k)；

当k＜0时，△AOB的面积为(2－)(3－2k)，依题意得，(2－)(3－2k)＝m，

即4k²－(12－2m)k＋9＝0.

又因为Δ＝[－(12－2m)]²－4×4×9，且m＞0，所以，m＝12时，k值唯一，此时直线l唯一；m＞12时，k值为两个负值，此时直线l有两条；

当k＞0时，△AOB的面积为－(2－)(3－2k)，依题意得，－(2－)(3－2k)＝m，即

4k²－(12＋2m)k＋9＝0，

又因为Δ＝[－(12＋2m)]²－4×4×9＝4m²＋48m，

且m＞0，所以Δ＞0，对于任意的m＞0，方程总有两个不同的解且都大于零，此时有两条直线；

综上可知：不存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；当0＜m＜12时，直线l有两条；当m＝12时，直线l有三条；当m＞12时，直线l有四条.