[题目]如图.在中...为的中点...现将沿翻折至.得四棱锥.(1)证明:,(2)若.求直线与平面所成角的正切值题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在中，，，为的中点，，.现将沿翻折至，得四棱锥.

（1）证明：；

（2）若，求直线与平面所成角的正切值

【答案】（1）证明见解析；（2）7

【解析】

（1）设为的中点，通过证明，来证明面，从而证得；

（2）法一：连结，设在面上的射影点为，则由题知点在上，且为直线与平面所成角，通过条件算出，，即可求得直线与平面所成角的正切值；

法二：如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，运用向量法求解直线与平面所成角的正切值.

（1）设为的中点，为的中点，，则，

故，则，

又，则，

所以是的角平分线，且三点共线.

由，且,得面，则；

（2）法一：连结.

由平面得，平面平面，交线为，

所以在面上的射影点在上，

为直线与平面所成角.

在中，，由余弦定理得，

，故，，

又，在得，由余弦定理得，则，

所以，

由（1）得为角平分线，

在中，，由余弦定理得，则，所以

，所以直线与平面所成角的正切值为7.

法二：如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系.

，

设，由，得

，

得.,

平面法向量为，设直线与平面所成角为，所以

，,则，

所以直线与平面所成角的正切值为7.

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【题目】随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导子女作业与性别的关系，得到下面的数据表：

是否辅导性别	辅导	不辅导	合计
男	25		60
女
合计	40		80

（1）请将表中数据补充完整；

（2）用样本的频率估计总体的概率，估计这个城市有子女在读小学的成人女性晚上八点至十点辅导子女作业的概率；

（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业与性别有关？”.

参考公式：，其中.

参考数据：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

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【题目】羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权．每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜．现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为；乙发球时，甲得分的概率为．

（Ⅰ）若，记“甲以赢一局”的概率为，试比较与的大小；

（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如下列联表部分数据．若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为，的值．

	甲得分	乙得分	总计
甲发球		50	100
乙发球	60		90
总计			190

①完成列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？

②已知在某局比中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战回合此局比赛结束，求的分布列与期望．

参考公式：，其中．

临界值表供参考：

	0.15	0.10	0.05	0.010	0.001
	2.072	2.706	3.841	6.635	10.828

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【题目】已知椭圆经过点离心率.

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（1）根据所给数据，求出关于的线性回归方程：

（2）求关于的回归方程；若防控不当，请问为何值时，累计确诊人数的预报值将超过1000人?（参考数据：，结果保留整数）

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	分数不少于120分	分数不足120分	合计
线上学习时间不少于5小时		4	19
线上学习时间不足5小时
合计			45

（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；

（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；

②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.

（下面的临界值表供参考）

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式其中）

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（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；

（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.