Question

16．若函数f（x）=x³+tx²+x+1（t∈R）在（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$）内是减函数，则实数t的取值范围为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． $（\frac{7}{4}，+∞）$
• D． $[\frac{7}{4}，+∞）$

Answer 1

分析 首先对f（x）求导，函数f（x）=x³+tx²+x+1（t∈R）在（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$）内是减函数即 f'（x）=3x²+2tx+1＜0的解集为（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$）．

解答 解：∵函数f（x）=x³+tx²+x+1（t∈R）
∴f'（x）=3x²+2tx+1＜0的解集为（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}-\frac{4}{3}a+1≤0}\\{\frac{1}{3}-\frac{2}{3}a+1≤0}\end{array}\right.$，计算解得：a≥2
故答案为：[2，+∞）

点评 本题主要考查了导数与函数单调性区间的关系，以及转化思想的应用，属中等题．