Question

9．已知数列{a_n}的通项为a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），我们把使乘积a₁•a₂•a₃•…•a_n为整数的n叫做“优数”，则在（0，2015]内的所有“优数”的和为（　　）

• A． 1024
• B． 2012
• C． 2026
• D． 2036

Answer 1

分析 由题意可得，a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）=$\frac{lg3}{lg2}$×$\frac{lg4}{lg3}$×…×$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=log₂（n+2），若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k，在（1，2015]内的所有整数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=$\frac{lg3}{lg2}$×$\frac{lg4}{lg3}$×…×$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$
=$\frac{lg（n+2）}{lg2}$=log₂（n+2），
若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k
在（1，2015]内的所有整数分别为：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2
∴所求的数的和为2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=$\frac{4（1-{2}^{9}）}{1-2}$-2×9=2026
故选：C．

点评 本题以新定义“优数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题．