Question

20．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解关于x的不等式f（x）＞2
（2）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）的最大值是t，实数x，y，z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是t，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）根据f（x）的解析式求得函数f（x）的最大值是t=9，再利用柯西不等式求得a的值．

解答 解：（1）关于x的不等式f（x）＞2，即|2x+1|-|x-4|＞2，
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-（4-x）＞2}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤4}\\{2x+1-（4-x）＞2}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞4}\\{2x+1-（x-4）＞2}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-7，解②求得x＞$\frac{5}{3}$，解③求得 x＞4．
综上可得，不等式的解集为{x|x＜-7，或x＞$\frac{5}{3}$}．
（2）由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-5，x＜-\frac{1}{2}}\\{3x-3，-\frac{1}{2}≤x≤4}\\{x+5，x＞4}\end{array}\right.$，故当x∈[0，4]时，函数f（x）的最大值是t=12-3=9，
函数f（x）的最值是9，
由柯西不等式可得[2x²+3y²+6z²]•[${（\frac{1}{\sqrt{2}}）}^{2}$+${（\frac{1}{\sqrt{3}}）}^{2}$+${（\frac{1}{\sqrt{6}}）}^{2}$]≥${（\frac{1}{\sqrt{2}}•\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{3}}•\sqrt{3}y+\frac{1}{\sqrt{6}}•\sqrt{6}z）}^{2}$=（x+y+z）²，
当且仅当2x=3y=6z时，取等号，
因为 2x²+3y²+6z²=a，∴a≥（x+y+z）²，因为x+y+z的最大值为9，故a=81．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想．柯西不等式的应用，属于中档题．