Question

已知x＞0，y＞0，a=x+y，b=

x2-xy+y2

，c=λ

xy

，若a，b，c能作为三角形的三边长，则正实数λ的范围是

 

．

Answer 1

考点：不等式比较大小

专题：不等式的解法及应用

分析：利用三角形任意两边之和大于第三边即可得出．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，a=x+y，b=

x2-xy+y2

，
∴a²-b²=3xy＞0，
∴a＞b．
∵a，b，c能作为三角形的三边长，
∴b+c＞a且a+b＞c，
即

x2-xy+y2

+λ

xy

＞x+y，x+y+

x2-xy+y2

＞λ

xy

．
由x+y+

x2-xy+y2

＞λ

xy

，
可得左边≥2

xy

+

xy

=3

xy

，
∴λ＜3．
由

x2-xy+y2

+λ

xy

＞x+y，
∴λ＞

x+y- x2-xy+y2

xy

=

3 xy

x+y+ x2-xy+y2

，
∵x+y+

x2-xy+y2

≥3

xy

，
∴λ＞1．
综上可得：1＜λ＜3．
故答案为：1＜λ＜3．

点评：本题考查了三角形任意两边之和大于第三边、不等式的解法、分母有理化，考查了推理能力和计算能力，属于难题．