Question

?①若命题p：

1

x-1

＞0，则?p：

1

x-1

≤0；
?②若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；
③?方程ax²+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±

1

2

；
④△ABC中A＞B是sinA＞sinB的充要条件．
上述命题中真命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：直接写出命题p的否定判断命题①；
根据p是q的充分不必要条件写出p与q的推出关系，找逆否命题得到￢p与￢q的推出关系，从而判断命题真假；
直接取a=0说明命题错误；
分别证出必要性和充分性得到命题④正确．

解答： 解：对于①，若命题p：

1

x-1

＞0，则?p：

1

x-1

≤0或x=1，故①错误；
对于②，若p是q的充分不必要条件，则p能推出q，但q不能退p，
∴￢q能推￢p，￢p不能推￢q，￢p是￢q的必要不充分条件，故②正确；
对于③，∵a=0时方程ax²+x+a=0也有唯一解，
∴命题③错误；
对于④，在△ABC中，若A＞B，由于A+B＜π，必有B＜π-A，若A，B都是锐角，有sinA＞sinB成立．
若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π-A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π-A≤

π

2

，
此时有sin（π-A）=sinA＞sinB．
若sinA＞sinB，当A不是锐角时，有A＞B．当A为锐角时，仍可得到A＞B．
∴A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故命题④正确．
∴真命题的序号是②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，命题①的判断易出错，会漏掉x=1，命题④的证明是该提的难点所在，该题属中档题．