Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC上一点．
（1）若点D是BC的中点，求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）若平面AB₁D⊥平面BCC₁B₁，求证：AD⊥BC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用三角形中位线的性质证明线线平行，再根据直线与平面平行的判定定理即可证明A₁C∥平面AB₁D．
（2）首先根据直线与平面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCC₁B₁，再利用直线与平面垂直的性质可得AD⊥BC．

解答： 证明：（1）连接A₁B，设AB₁∩A₁B=E，
则E为A₁B 的中点，
连接DE，由D是BC的中点，
可得DE是△A₁BC的中位线．
∴DE∥A₁C，
又DE?平面AB₁D，且A₁C?平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D．
（2）在平面BCC₁B₁中过点B作BF⊥B₁D，
∵平面AB₁D⊥平面BCC₁B₁，
平面AB₁D∩平面BCC₁B₁=B₁D，
∴BF⊥平面AB₁D，
又∵AD?平面AB₁D
∴BF⊥AD，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
又BB₁∩BF=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
又∵BC?平面BCC₁B₁
∴AD⊥BC．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理，以及直线与平面垂直的性质等知识的综合运用．