【题目】如图所示,四棱锥的侧面
底面
,底面
是直角梯形,且
,
,
是
中点.
(1)求证: 平面
;
(2)若,求直线
与平面
所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)取的中点
,连结
,易得
,
,从而得
平面
,只需证得
即可;
(2)设点O,G分别为AD,BC的中点,连结,则
,可证得
平面
,故
两两垂直,可以点O为原点,分别以
的方向为
轴的正方向,建立空间直角坐标系
,求出平面
的法向量
,利用
即可得解.
试题解析:
(1)证明:取的中点
,连结
,如图所示.
因为,所以
.
因为侧面,
且
,
所以平面
,又
平面
,所以
.
又因为,所以
平面
.
因为点是
中点,所以
,且
.
又因为,且
,所以
,且
,
所以四边形为平行四边形,所以
,所以
平面
.
(2)设点O,G分别为AD,BC的中点,连结,则
,
因为平面
,
平面
,
所以,所以
.
因为,由(Ⅰ)知,
又因为,所以
,
所以
所以为正三角形,所以
,
因为平面
,
平面
,所以
.
又因为,所以
平面
.
故两两垂直,可以点O为原点,分别以
的方向为
轴的正方向,
建立空间直角坐标系,如图所示.
,
,
,
所以,
,
,
设平面的法向量
,
则所以
取
,则
,
设与平面
所成的角为
,则
,
因为,所以
,所以
与平面
所成角的大小为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试,试卷满分120分,现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩,其茎叶图如下图所示:
(1)已知10名学生的平均成绩为88,计算其中位数和方差;
(2)已知全市学生学习成绩分布服从正态分布,某校实验班学生30人.
①依据(1)的结果,试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数(结果四舍五入取整数);
②为参加学校举行的数学知识竞赛,该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛若每个学生通过预选赛的概率为
,用随机变量
表示通过预选赛的人数,求
的分布列和数学期望.
正态分布参考数据:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在底面是菱形的四棱锥中,
平面
,
,点
分别为
的中点,设直线
与平面
交于点
.
(1)已知平面平面
,求证:
.
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆(
)的左、右焦点分别为
、
,设点
,在
中,
,周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不经过点的直线
与椭圆
相交于
、
两点,若直线
与
的斜率之和为
,求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标;
(3)记第(2)问所求的定点为,点
为椭圆
上的一个动点,试根据
面积
的不同取值范围,讨论
存在的个数,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高中三年级共有人,其中男生
人,女生
人,为调查该年级学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集
位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).
(Ⅰ)应收集多少位女生样本数据?
(Ⅱ)根据这个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示).其中样本数据分组区间为:
,
,
,
,
,
.估计该年组学生每周平均体育运动时间超过
个小时的概率.
(Ⅲ)在样本数据中,有位女生的每周平均体育运动时间超过
个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有
的把握认为“该年级学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附:
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