Question

3．在四棱锥P-ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．
（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（2）求钝二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．
（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B-PC-D的大小．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AP=AB=AD=2BC=2，
则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），
设异面直线PC与BD所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{2}{\sqrt{9}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
（2）$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，
得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=2a+b-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=2b-2c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，2），
设钝二面角B-PC-D的平面角为θ，
cosθ=-|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=-|$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{9}}$|=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=135°，
∴钝二面角B-PC-D的大小为135°．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查钝二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．