Question

下列命题中正确的是（　　）

• A．y=x+

  1

  x

  的最小值是2
• B．y=

  x2+3

  x2+2

  的最小值是2
• C．y=

  x2+5

  x2+4

  的最小值是

  5

  2

• D．y=2-3x-

  4

  x

  的最大值是2-4

  3

Answer 1

分析：当x＜0时，y=x+

1

x

＜0；y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥

2

+

1

2

=

3 2

2

；y=

x2+5

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

≥2+

1

2

=

5

2

；当x＜0时，y=2-3x-

4

x

的最大值是2-4

3

不成立．

解答：解：当x＞0时，y=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，其最小值是2；
当x=0时，y=x+

1

x

不存在；
当x＜0时，y=x+

1

x

=-（-x-

1

x

）≤-2

(-x)•(- 1 x )

=-2，其最大值是-2．
故A不成立；
设y=x+

1

x

，则y′=1-

1

x2

，当x＞1时，y′＞0，
∴y=x+

1

x

在（1，+∞）内是增函数．
∵y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

，

x2+2

≥

2

，
∴y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥

2

+

1

2

=

3 2

2

，
∴y=

x2+3

x2+2

的最小值是

3 2

2

，故B不正确．
∵y=

x2+5

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，

x2+4

≥2，
∴y=

x2+5

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

≥2+

1

2

=

5

2

，
∴y=

x2+5

x2+4

的最小值是

5

2

，故C正确；
当x＞0时，y=2-3x-

4

x

≤2-2

3x• 4 x

=2-4

3

，其最大值是2-4

3

；
当x=0时，y=2-3x-

4

x

不存在；
x＜0时，y=2-3x-

4

x

≥2+2

(-3x)• 4 x

=2+4

3

，其最小值是2+4

3

，故D不成立．
故选C．

点评：本题考查基本不等式的性质及其应用，是基础题．解题时要注意均值定理成立的条件：“一正，二定，三相等．”