Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

．
（1）求椭圆C的离心率； 
（2）若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线l：x-

3

y-3=0相切，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）欲求椭圆C的离心率，只需得到关于a，c的齐次式，由

F2A

⊥

AQ

，2

F1F2

+

F2Q

=

0

，以及b²=a²-c²，就可得到a，c的齐次式，求出椭圆C的离心率．
（2）先求出过A、Q、F₂三点的圆的圆心坐标以及半径，再根据圆恰好与直线x-

3

y-3=0相切，求出参数的值，
就可得到椭圆C的方程．

解答： 解：（1）设Q（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b）知

F2A

=(-c，b)，

AQ

=(x0，-b)．
∵

F2A

⊥

AQ

，
∴-cx₀-b²=0，故x₀=-

b2

c

，
由于2

F1F2

+

F2Q

=

0

，即F₁为F₂Q中点．
故-

b2

c

+c=-2c，
∴b²=3c²=a²-c²，
∴椭圆的离心率e=

1

2

；
（2）由（1）知

c

a

=

1

2

得c=

1

2

a，于是F₂（

1

2

a，0），Q（-

3

2

a，0），
△AQF的外接圆圆心为F₁（-

1

2

a，0），半径r=

1

2

|FQ|=a
∴

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，
∴c=1，b=

3

，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题考查了椭圆离心率，方程的求法，以及直线与圆位置关系的判断，考查向量知识的运用，属于中档题．