Question

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是9和1
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上一点P到两焦点的距离之积为m，求当m取最大值时，P点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距为2c，利用项点到两个焦点的距离分别是9和1，求出a，c，可得b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）由椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距为2c．

a+c=9 a-c=1

，解得

a=5 c=4

，
∴b=

a2-c2

=3
∴椭圆C的标准方程为

x2

25

+

y2

9

=1
（2）|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
∴|PF₁|•|PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=25．
当且仅当|PF₁|=|PF₂|=5时，取得最大值，此时P点是短轴端点，

点评：本题考查椭圆C的标准方程，考查椭圆的定义，考查基本不等式的运用，确定椭圆C的标准方程是关键．