Question

已知点P（x₀，y₀）是椭圆C：

x2

5

+y2=1上的一点．F₁、F₂是椭圆C的左右焦点．
（1）若∠F₁PF₂是钝角，求点P横坐标x₀的取值范围；
（2）求代数式

y

2 0

+2x0的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）要使∠F₁PF₂=θ为钝角，满足cosθ＜0即可，只要|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2＜0，由此能求出点P横坐标x₀的取值范围．
（2）由题设知y02=1-

x02

5

，由此

y

2 0

+2x0=1-

x02

5

+2x₀，利用二次函数性质能求出代数式

y

2 0

+2x0的最大值．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

5

+y2=1，
∴a²=5，b²=1，∴c=

5-1

=2，
∴椭圆的焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0），
要使∠F₁PF₂=θ为钝角，满足cosθ＜0即可，
在△F₁PF₂中，根据余弦定理得：
|F1F2|2=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|，
∵cosθ=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

＜0，
只要|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2＜0，
又根据椭圆的第二定义知：
|PF₁|=e|x₀+

a2

c

|，|PF₂|=e|x₀-

a2

c

|，|F₁F₂|=2c，
∴|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2＜0，
[e|x0+

a2

c

|]²+[e|x0-

a2

c

|]²-（2c）²＜0，
∴x02+

a4

c2

-

2c2

e2

＜0，
∵e=

c

a

，a=

5

，c=2，∴x02-

15

4

＜0，
∴-

15

2

＜x0＜

15

2

．
∴点P横坐标x₀的取值范围{x₀|-

15

2

＜x0＜

15

2

}．
（2）∵点P（x₀，y₀）是椭圆C：

x2

5

+y2=1上的一点，
∴y02=1-

x02

5

，
∴

y

2 0

+2x0=1-

x02

5

+2x₀=-

1

5

（x₀-5）²+6，
∵-

5

≤x0≤

5

，
∴

y

2 0

+2x0在[-

5

，

5

]上是增函数，
∴当x0=

5

时，代数式

y

2 0

+2x0取最大值为1-

( 5 )2

5

+2

5

=2

5

．

点评：本题考查点的横坐标的取值范围的求法，考查代数式的最大值的求法，解题时要注意余弦定理和二次函数的灵活运用．