Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若椭圆上的点A（1，

3

2

）到点F₁、F₂的距离之和等于4，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆C上的动点，求线段F₁P的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：圆锥曲线的轨迹问题,轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）若椭圆上的点A到点F₁、F₂的距离之和等于4，可求a，利用点A（1，

3

2

）在椭圆上，求出b，即可得到求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是（Ⅰ）中所得椭圆C上的动点，确定P，M坐标之间的关系，即可求线段F₁P的中点M的轨迹方程．

解答： 解：（Ⅰ）由椭圆上的点A到点F₁、F₂的距离之和是4，可得2a=4，即a=2．（1分）
又点A（1，

3

2

）在椭圆上，因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，解得b²=3，于是c²=1…（2分）
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（3分）
（Ⅱ）设椭圆C上的动点P的坐标为（x₁，y₁），点M的坐标为（x，y）．
由（Ⅰ）知，点F₁的坐标为（-1，0），则x=

-1+x1

2

，y=

y1

2

，即x₁=2x+1 y₁=2y…（5分）
因此

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1，即(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1为所求的轨迹方程…（6分）

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，确定坐标之间的关系是关键．