Question

已知抛物线y²=4x，过点P（2，1）的直线l与抛物线交于两点A，B，且点P（2，1）为弦AB的中点．
（1）求直线l的方程；
（2）过点P（2，1）分别作斜率为k₁，k₂的两不同的直线l₁，l₂，若直线l₁交抛物线于A₁，B₁，直线l₂交抛物线于A₂，B₂，且

PA1

•

PB1

=

PA2

•

PB2

，求证：k₁+k₂的值为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用“点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出；
（2）把直线参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义即可求出．

解答： （1）解：设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点P（2，1）为弦AB的中点，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入抛物线y²=4x，
得

y12=4x1  y22=4x2

，∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴2（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），∴k=

y1-y2

x1-x2

=2，
∴直线l的方程为：y-1=2（x-2），整理得：2x-y-3=0．
（2）证明：∵点P（2，1），设直线l₁，l₂的倾斜角分别为α，β，
则k₁=tanα，k₂=tanβ，且α，β∈(0，

π

2

)∪(

π

2

，π)，
则l₁的参数方程为

x=2+tcosα y=1+tsinα

，
代入抛物线方程得（1+tsinα）²=4（2+tcosα），
整理得t²sin²α+（2sinα-4cosα）t-7=0，
∵△=（2sinα-4cosα）²+28sin²α＞0，
∴t₁t₂=

-7

sin2α

=

P1A1

•

P1B1

，
同理

-7

sin2β

=

P1A2

•

P1B2

，
∵

PA1

•

PB1

=

PA2

•

PB2

，
∴sin²α=sin²β，
∴sinα=sinβ，∵α≠β，∴α=π-β，
∴k₁+k₂=tanα+tanβ=-tanβ+tanβ=0．

点评：熟练掌握“点差法”直线的点斜式、直线与抛物线相交问题的解题模式、根与系数的关系、直线参数的几何意义是解题的关键．