Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=2n2-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数p、q（p＞1且q＞1）使a₁、a_p、a_q成等比数列？若存在，求出所有这样的等比数列；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的性质

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由Sn=2n2-1，分n=1和n≠1求解a_n，然后验证n=1时是否满足n＞1时的通项公式；
（2）假设存在正整数p、q（p＞1且q＞1）使a₁、a_p、a_q成等比数列，由等比中项的概念结合（1）中求出的通项公式列等式，得到矛盾，说明假设错误．

解答： 解：（1）∵Sn=2n2-1，
∴a₁=S₁=1，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=4n-2，
而4×1-2=2≠1，
∴an=

1，n=1 4n-2，n＞1.

（2）假设存在正整数p、q（p＞1且q＞1）使a₁、a_p、a_q成等比数列，
则ap2=a1×aq，
由（1）得（4p-2）²=1×（4q-2），
即2（2p-1）²=2q-1，
∵p、q是整数，
∴2（2p-1）²=2q-1，即q=(2p-1)2+

1

2

，此式不可能成立，
∴假设错误．
∴不存在正整数p、q（p＞1且q＞1）使a₁、a_p、a_q成等比数列．

点评：本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了存在性问题的判定方法，考查了等比中项的概念，是中档题．