Question

3．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=-\sqrt{3}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin²θ-3cosθ=0．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；
（Ⅱ）两极坐标方程联立，求出交点直角坐标，即可求直线l与曲线C交点的极坐标．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=-\sqrt{3}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为3x-2$\sqrt{3}$y-9=0，极坐标方程为3ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ-9=0，
曲线C的极坐标方程是ρsin²θ-3cosθ=0，即ρ²sin²θ=3ρcosθ，曲线C的直角坐标方程为y²=3x；
（Ⅱ）两极坐标方程联立，可得ρ²sin²θ-2$\sqrt{3}$ρsinθ-9=0，∴ρsinθ=3$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$，即y=3$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$，
∴x=9或1，∴交点坐标为（9，3$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$）
∴直线l与曲线C交点的极坐标为（6$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）或（2，$\frac{5π}{3}$）．

点评 本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，属于中档题．