Question

已知函数f(x)=2sin(

π

8

x+

π

4

)+1．
（Ⅰ）在所给的坐标纸上作出函数y=f（x），x∈[-2，14]的图象（不要求作图过程）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x），x∈R，求函数y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 令

π

8

x+

π

4

分别取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π 这五个值，求出对应的x，y值，以这五个x，y值作为点的坐标
在坐标系中描出，即得函数在一个周期内的图象．
（Ⅱ） 利用诱导公式和两角和差的三角公式，把g（x）化为 2

2

cos（

π

8

x）+2，利用余弦函数的有界性求出
函数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）如图所示：令

π

8

x+

π

4

分别取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π 这五个值，根据 y=f(x)=2sin(

π

8

x+

π

4

)+1求出
对应的x，y值，以这五个x，y值作为点的坐标在坐标系中描出：（-2，1）、（2，3）、（6，1）、（10，-1）、
（14，1），即得函数在一个周期内的图象．
（Ⅱ）g（x）=f（x）+f（-x）=sin（

π

8

x+

π

4

）+1+2sin（-

π

8

x+

π

4

）+1 
=2sin（

π

8

x+

π

4

）-2sin（

π

8

x-

π

4

）+2=2

2

cos（

π

8

x）+2，
故当

π

8

x=2kπ，即x=16kπ，k∈z 时，函数 g（x）取最大值2

2

+2．

点评：本题考查用五点法作函数 y=Asin（ωx+∅）的图象，诱导公式，两角和差的三角公式的应用，利用余弦函数的有界性求出函数的最值．