Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=2

3

，∠ABC=

π

3

．
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的余弦值；[注：侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱]．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法证明AB⊥A₁C；
（Ⅱ）求平面的法向量，利用向量法即可求出二面角A-A₁C-B的余弦值．

解答： 证明：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得sin∠ACD=

1

2

，即∠ACB=

π

6

，
∴AB⊥AC，
以A为原点，分别以AB，AC，AA₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A₁（0，0，2

3

），B（2，0，0），C（0，2

3

，0），
则

AB

=（2，0，0），

A1C

=（0，2

3

，-2

3

），
∴

AB

•

A1C

=0，即AB⊥A₁C；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

A1B

=(2，0，-2

3

)，
设A₁CB的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • A1B =2x-2 3 z=0 n • BC =-2x+2 3 y=0

，
令x=

3

，则y=1，z=1，则

n

=(

3

，1，1)，
又∵平面AA₁C的一个法向量为

m

=（1，0，0），
设二面角A-A₁C-B的大小为θ，
则cosθ=cos＜

m

，

n

＞=

3

5

=

15

5

，
故二面角A-A₁C-B的余弦值为

15

5

．

点评：本题主要考查空间向量法应用，建立空间直角坐标系，利用法向量是解决二面角的基本方法．