Question

如图，已知ABCD为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，折后如图满足平面ABCD⊥平面BCEF．
（Ⅰ）求证：BD⊥EF；
（Ⅱ）求三棱锥D-NBF的体积；

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证BD⊥EF，只需证EF⊥BD所在的平面BND，由已知，易得BD⊥EF，根据折叠问题的性质，折叠后EF⊥DN，EF⊥BN，则可证EF⊥面BND，即可证EF⊥BD；
（2）由已知，V_{三棱锥D-NBF}=

1

3

S_△NBF•？，结合第一问，实际上可以判断BD垂直于面NBF，且△NBF，△BND都是直角三角形，则不难求出三棱锥D-NBF的体积．

解答： 解：（Ⅰ）由BD⊥AD，EF∥BC，
得 BN⊥EF，DN⊥EF，
由BN交DN于N，
所以EF⊥平面DNB，
所以EF⊥BD；         
（II）由EF⊥BD，EF∥BC，
则BD⊥BC，在Rt△NBF中，FN=

1

3

EF=

1

3

AD，
又∵在Rt△ABD中，∠A=60°，AB=6，
∴AD=3，∴BF=2，NF=1，BD=3

3

，
BN=

3

，DN=2

3

，∴S_△NBF=

3

2

，
因为平面ABCDCH⊥平面BCEF，
∴BD⊥平面BCF，
∴D到平面BNF的距离等于BD，
而在Rt△NBD中，BD=

ND2-NB2

=3
V三棱锥D-NBF=

1

3

S△NBF•BD=

1

3

•

3

2

•3=

3

2

，
即所求三棱锥的体积为

3

2

．

点评：空间垂直关系的证明，主要利用转化思想，本题就是利用折叠后仍然有EF⊥ND，EF⊥NB，完成EF⊥面NBD的证明；而三棱锥体积的计算问题，依据公式确定底面与高，原则是充分利用垂直关系找“高”，所以第二问的核心就是BD⊥面NBF．