Question

设函数f（x）=（m-3）e^x，g（x）=2ax+1+blnx，其中m，a，b∈R，曲线g（x）在x=1处的切线方程为y=3x．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求m的取值范围；
（3）讨论关于x的方程f（x）=g（x）根的个数．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由导数的几何意义求得a，b的值即可得出结论；
（2）由题意，（m-3）e^x＞2x+1+lnx对一切x＞0恒成立，分离参数m得m＞

2x+1+lnx

ex

+3，令h(x)=

2x+1+lnx

ex

+3，
利用导数求得h（x）的最大值，即可得出结论．
（3）由题意，原方程等价于分离参数后的方程m=

2x+1+lnx

ex

+3，令h(x)=

2x+1+lnx

ex

+3，利用导数判断函数的单调性，数形结合即可得出结论．

解答： 解：（1）g′(x)=2a+

b

x

，则g'（1）=2a+b=3，又g（1）=2a+1=3，
解得a=1，b=1，所以g（x）=2x+1+lnx．
（2）由题意，（m-3）e^x＞2x+1+lnx对一切x＞0恒成立，
分离参数m得m＞

2x+1+lnx

ex

+3，
令h(x)=

2x+1+lnx

ex

+3，则h′(x)=

1+ 1 x -2x-lnx

ex

，
令t(x)=1+

1

x

-2x-lnx，探根：令x=1，则t（1）=0，
又t′(x)=-

1

x2

-2-

1

x

＜0，说明函数t（x）过点（1，0），且在（0，+∞）上单调递减，
其大致图象如图．

观察图象即知，当x∈（0，1）时，t（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，t（x）＜0．
又易知h'（x）与t（x）同号，所以h（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
即hmax(x)=h(1)=

3

e

+3，故所求m取值范围为(

3

e

+3，  +∞)．
（3）由题意，原方程等价于分离参数后的方程m=

2x+1+lnx

ex

+3，
仍令h(x)=

2x+1+lnx

ex

+3，则由（1）知：h（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减．
又当x→0⁺时，h（x）→-∞；当x→+∞时，h（x）→3，即直线x=0（y轴）和y=3是函数h（x）图象的两条渐近线，
所以h（x）的大致图象如图2，观察图象即知：

当m=

3

e

+3或m∈（-∞，3]时，方程f（x）=g（x）根的个数为1；
当m∈（3，

3

e

+3）时，f（x）=g（x）根的个数为2；
当m∈（

3

e

+3，+∞）时，f（x）=g（x）根的个数为0．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的切线问题，研究函数的单调性、最值等知识，考查学生转化划归思想、分类讨论思想的运用能力及分析问题、解决问题的能力，属难题．