Question

已知函数y=sin（

π

3

-

1

2

x）
（Ⅰ）求该函数的周期，并求函数在区间[0，π]上的值域；
（Ⅱ）求该函数在[-2π，2π]上的单调增区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由题意易得周期，由x的范围可得

π

3

-

1

2

x的范围，进而可得；（Ⅱ）原函数的增区间即为y=sin（

1

2

x-

π

3

）的减区间，令2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解不等式和[-2π，2π]取交集即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意函数的周期T=

2π

1 2

=4π，
∵x∈[0，π]，∴

π

3

-

1

2

x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴sin（

π

3

-

1

2

x）∈[-

1

2

，

3

2

]，
即函数在区间[0，π]上的值域为[-

1

2

，

3

2

]；
（Ⅱ）原函数可化为y=-sin（

1

2

x-

π

3

），
原函数的增区间即为y=sin（

1

2

x-

π

3

）的减区间，
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

5π

3

≤x≤4kπ+

11π

3

，k∈Z，
令k=0，可得

5π

3

≤x≤

11π

3

，
令k=-1，可得-

7π

3

≤x≤-

π

3

，
∵x∈[-2π，2π]，
∴函数的单调递增区间为：[-2π，-

π

3

]和[

5π

3

，2π]．

点评：本题考查三角函数的单调性和值域，涉及周期性和复合函数的单调性，属基础题．