Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

，AB=1，M是PB的中点．
（1）求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；
（2）证明：CM∥面PAD．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．
（2）这样证明平面PAD的法向量与

CM

的数量积为0即可．

解答： 解：以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
（1）∵PA=AD=DC=

1

2

，AB=1
∴D(

1

2

，0，0)，B（0，1，0），P(0，0，

1

2

)，C(

1

2

，

1

2

，0)
∴

AC

=(

1

2

，

1

2

，0)，

PB

=(0，1，-

1

2

)．
∴cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC | | PB |

=

1 2

( 1 2 )2+( 1 2 )2+0 0+1+(- 1 2 )2

=

10

5

∴异面直线AC与PB所成的角的余弦值为

10

5

．
（2）∵M(0，

1

2

，

1

4

)，∴

CM

=(-

1

2

，0，

1

4

)．
又∵AB⊥面PAD，∴面PAD的法向量为

AB

=（0，1，0）．
∴

AB

•

CM

=0
∵CM?面PAD，
∴CM∥面PAD．

点评：本题考查了向量的夹角公式、线面平行、向量垂直于数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．