Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1．
（1）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值；
（2）如果f（x）＜f（2-x）+2，求x的集合．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=

1

3

，求出f（

1

9

），根据函数的单调性，即可求出m；
（2）由（1）得，不等式f（x）＜f（2-x）+2等价于f（x）＜f（

2x

9

-

1

9

），由函数的单调性，得到不等式组，解出即可，注意函数的定义域．

解答： 解：（1）∵f(

1

9

)=f(

1

3

)+f(

1

3

)=2，又f（m）=2，
且函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴m=

1

9

；
（2）∵f(2-x)+2=f(2-x)+f(

1

9

)=f(

2

9

-

x

9

)，
∴f（x）＜f（2-x）+2即f（x）＜f（

2x

9

-

1

9

），
∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴

x＞0 2-x＞0 x＞ 2 9 - x 9

即

1

5

＜x＜2，
∴使f(x)＜f(2-x)+2的x的集合为{x|

1

5

＜x＜2}．

点评：本题主要考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查基本的运算能力．