Question

已知函数f（x）=x³+2x²-ax．对于任意实数x恒有f′（x）≥2x²+2x-4
（Ⅰ）求实数a的最大值；
（Ⅱ）当a最大时，函数F（x）=f（x）-x-k有三个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由f′（x）=3x²+4x-a，对于x∈R恒有f′（x）≥2x²+2x-4，即x²+2x-a+4≥0对于x∈R恒成立得△=4-4（4-a）≤0，解得：a≤3，
（2）a=3时，F（x）=f（x）-x-k有三个零点因此k=x³+2x²-4x，令g（x）=k，则g′（x）=3x²+4x-4，令g′（x）=0，解得：x=-2，x=

2

3

，从而得到单调区间求出函数极值，进而确定k的范围．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²+4x-a，
对于x∈R恒有f′（x）≥2x²+2x-4，
即x²+2x-a+4≥0对于x∈R恒成立
∴△=4-4（4-a）≤0，
解得：a≤3，
∴a_max=3；
（2）∵a=3时，F（x）=f（x）-x-k有三个零点
∴k=x³+2x²-4x，
令g（x）=k，
则g′（x）=3x²+4x-4，
令g′（x）=0，解得：x=-2，x=

2

3

，
x，g（x），g（x）情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	单调递增	极大值8	单调递减	极小极- 40 27	单调递增

（10分）
由上表知，当x=-2时g（x）取得极大值g（-2）=-8，当x=

2

3

时g（x）取得极小值g（

2

3

）=-

40

27

数形结合可知，实数k的取值范围为（-

40

27

，8）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数的极值问题，是一道基础题．