Question

已知平面向量

a

=（-

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

），

c

=-

1

4

a

+m

b

，

d

=cos²x

a

+sinx

b

，f（x）=

c

•

d

，x∈R．
（1）当m=2时，求y=f（x）的取值范围； 
（2）设g（x）=f（x）-m²+2m+5，是否存在实数m，使得y=g（x）有最大值2，若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域

专题：平面向量及应用

分析：（1）当m=2时，求出

c

和

d

的坐标，可得函数y=f（x）=

c

•

d

=2-（sinx-1）²，再利用二次函数的性质求得函数的值域．
（2）根据

c

和

d

的坐标，求得函数y=f（x）=

c

•

d

=cos²x+msinx，可得g（x）的解析式．令sinx=t，则-1≤t≤1，g（x）=h（t）=-t²+mt-m²+2m+6，函数h（t）的对称轴为 t=

m

2

，再分当

m

2

＜0时和当m≥0时两种情况，分别利用二次函数的单调性以及g（x）有最大值2，求得m的值，从而得出结论．

解答： 解：（1）当m=2时，

c

=-

1

4

a

+2

b

=（-

3

4

+1，

1

4

+

3

），

d

=cos²x

a

+sinx

b

=（

1

2

sinx-

3

cos²x，

3

2

sinx+cos²x ），
函数y=f（x）=

c

•

d

=（-

3

4

+1）•（

1

2

sinx-

3

cos²x ）+（

1

4

+

3

）•（

3

2

sinx+cos²x ）
=cos²x+2sinx=1-sin²x+2sinx=2-（sinx-1）²，
故当sinx=1时，函数y取得最大值为2，当sinx=-1时，函数y取得最小值为-2，
故函数的值域为[-2，2]．
（2）∵

c

=-

1

4

a

+m

b

=（-

3

4

+

m

2

，

1

4

+

m 3

2

），

d

=cos²x

a

+sinx

b

=（

1

2

sinx-

3

cos²x，

3

2

sinx+cos²x ），
函数y=f（x）=

c

•

d

=（-

3

4

+

m

2

）•（

1

2

sinx-

3

cos²x ）+（

1

4

+

m 3

2

）•（

3

2

sinx+cos²x ）
=cos²x+msinx，
∴g（x）=f（x）-m²+2m+5=cos²x+msinx-m²+2m+5=1-sin²x+msinx-m²+2m+5 
=-sin²x+msinx-m²+2m+6．
令sinx=t，则-1≤t≤1，g（x）=h（t）=-t²+mt-m²+2m+6，函数h（t）的对称轴为 t=

m

2

，
当

m

2

＜0时，h（t）的最大值为h（1）=-1+m-m²+2m+6=2，求得m=

3- 21

2

．
当m≥0时，h（t）的最大值为h（-1）=-1-m-m²+2m+6=2，求得m=

1+ 13

2

．
综上可得，存在实数m=

3- 21

2

 或m=

1+ 13

2

，使得y=g（x）有最大值2．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，二次函数的性质，求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．