Question

二次函数y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f（2）=6
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的定义域为[-1，4]，求f（x）的值域；
（3）若函数f（x）的定义域为[a，a+1]，f（x）的值域为[12，22]，求a的值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，得出f（x）的对称轴，顶点坐标，从而求出解析式；
（2）由f（x）的解析式求出在[-1，4]上的最值，即得值域；
（3）讨论a的取值，得出f（x）在[a，a+1]上的单调性，从而求出f（x）在[a，a+1]上的值域，得出a的值．

解答： 解：（1）根据题意，函数f（x）的对称轴是x=

0+2

2

=1，
∴顶点是（1，4）；
∴设f（x）=a（x-1）²+4，
当x=0时，f（0）=a+4=6，
∴a=2；
∴f（x）=2（x-1）²+4=2x²-4x+6；
（2）∵f（x）的对称轴是x=1，
∴x=1时，f（x）_min=f（1）=4；
x=4时，f（x）_max=f（4）=22；
∴f（x）的值域是[4，22]；
（3）①当a≥1时，f（x）在[a，a+1]上是增函数，
∴

f(a)=6 f(a+1)=22

，
即

2(a-1)2+4=6 2a2+4=22

，
解得a=3；
②当a≤0时，f（x）在[a，a+1]上是减函数，
∴

f(a)=22 f(a+1)=6

，
即

2(a-1)2+4=22 2a2+4=6

，
解得a=-2；
③当0＜a＜1时，f（x）在[a，a+1]上取得最小值
f（x）_min=f（1）=4，不合题意；
综上，a=3或a=-2．

点评：本题考查了求函数的解析式与值域的问题，解题时可以利用函数的图象与性质求出解析式，根据函数的单调性求出值域，是中档题．