Question

如图，在半径为2

3

、圆心角为60°的扇形的弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，设矩形PNMQ的面积为y．
（Ⅰ）按下列要求求出函数关系式并写出定义域：
①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，求y的最大值．

Answer 1

考点：弧度制的应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）①求出MN，PN可将y表示成x的函数关系式；②在Rt△PON中，利用直角三角形中的边角关系求得 PN=Rsinθ，ON=Rcosθ，以及MQ和OM，可得关于矩形的面积S的解析式，化简可得结果；
（2）由②得y=6sin2θ-2

3

(1-cos2θ)=4

3

sin(2θ+

π

6

)-2

3

，故当θ=

π

6

时，y取得最大值．

解答： 解：（1）①因为QM=PN=x，所以OM=

QM

tan600

=

x

3

，又ON=

12-x2

，
所以MN=ON-OM=

12-x2

-

x

3

，
故y=MN•PN=x•

12-x2

-

3 x2

3

（0＜x＜3），
②当∠POB=θ时，QM=PN=2

3

sinθ，则OM=

QM

tan600

=2sinθ，又ON=2

3

cosθ，
所以MN=ON-OM=2

3

cosθ-2sinθ，
故y=MN•PN=12sinθcosθ-4

3

sin2θ（0＜θ＜

π

3

）；

（2）由②得y=6sin2θ-2

3

(1-cos2θ)=4

3

sin(2θ+

π

6

)-2

3

，
故当θ=

π

6

时，y取得最大值为2

3

．

点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．