Question

已知半径为5的圆的圆心C在x轴上，圆心C的横坐标是整数，且圆C与直线4x+3y-33=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线ax-y-7=0与圆C相交于A，B两点，且满足CA⊥CB，求实数a的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）利用圆C与直线4x+3y-33=0相切，结合圆心C的横坐标是整数，求出圆心的坐标，即可求圆C的方程；
（2）圆心C到直线ax-y-7=0为

5

2

2

，结合点到直线的距离公式，即可求实数a的值．

解答： 解：（1）设C（m，0），
∵圆C与直线4x+3y-33=0相切，∴

|4m-33|

5

=5，
∴m=

29

2

或m=2，
∵圆心C的横坐标是整数，∴m=2，
∴圆C的方程为（x-2）²+y²=25．
（2）∵CA⊥CB且CA=CB=5，∴圆心C到直线ax-y-7=0为

5

2

2

，
∴

|2a-7|

a2+1

=

5

2

2

，化简得17a²+56a-73=0，
解得a=1或a=-

73

17

．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．