Question

已知m∈R，设函数f（x）=x³-3（m+1）x²+12mx+1．
（Ⅰ） 若f（x）在（0，3）上无极值点，求m的值；
（Ⅱ） 若存在x₀∈（0，3），使得f（x₀）是f（x）在[0，3]上的最值，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求出m的值；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数在[0，3]上的最值，建立条件关系即可求出m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ） 由题意知
f′（x）=3x²-6（m+1）x+12m=3（x-2）（x-2m）．
由于f（x）在[0，3]上无极值点，故2m=2，所以m=1．                     
（Ⅱ） 由于f′（x）=3（x-2）（x-2m），故
（i） 当2m≤0或2m≥3，即m≤0或m≥

3

2

时，
取x₀=2即满足题意．
此时m≤0或m≥

3

2

．
（ii） 当0＜2m＜2，即0＜m＜1时，列表如下：

x	0	（0，2m）	2m	（2m，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增	9m+1

故f（2）≤f（0）或　f（2m）≥f（3），
即-4+12m+1≤1或-4m³+12m²+1≥9m+1，
从而3m≤1或-m（2m-3）²≥0，
所以m≤

1

3

或m≤0或m=

3

2

．
此时0＜m≤

1

3

．
（iii） 当2＜2m＜3，即1＜m＜

3

2

时，列表如下：

x	0	（0，2）	2	（2，2m）	2m	（2m，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增	9m+1

故f（2m）≤f（0）或  f（2）≥f（3），
即-4m³+12m²+1≤1或-4+12m+1≥9m+1，
从而-4m² （m-3）≤0　或　3m≥4，
所以m=0或m≥3或　m≥

4

3

．
此时

4

3

≤m＜

3

2

．
综上所述，实数m的取值范围是
m≤

1

3

或m≥

4

3

．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等性质等基础知识，同时考查分类讨论等综合解题能力．