Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且满足2S_n=a_n²+n-4（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的递推关系，得到关于数列{a_n}的关系式，即可证明数列{a_n}为等差数列；
（2）根据等差数列的通项公式，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n²+n-4（n∈N^*）．
∴2S_n+1=a_n+1²+n+1-4．
两式相减得2S_n+1-2S_n=a_n+1²+n+1-4-（a_n²+n-4），
即2a_n+1=a_n+1²-a_n²+1，
则a_n+1²-2a_n+1+1=a_n²，
即（a_n+1-1）²=a_n²，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+1-1=a_n，
即a_n+1-a_n=1
即数列{a_n}为等差数列，公差d=1．
（2）∵2S_n=a_n²+n-4，
∴当n=1时，2a₁=a₁²+1-4，
即a₁²-2a₁-3=0，
解得a₁=3或a₁=-1，（舍）
∵数列{a_n}为等差数列，公差d=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3+n-1=n+2．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式，利用数列的递推关系，结合等差数列的定义是解决本题的关键．