Question

已知圆C过原点且与x-y-4=0相切，且圆心C在直线x+y=0上．
（1）求圆的方程；
（2）过点P（2，2）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=2，求直线l的方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由题意设圆心C（a，-a），则C到直线x-y-4=0的距离等于|CO|，由此能求出圆C的方程．
（2）圆心C到直线l的距离d=

r2-( |AB| 2 )2

=1．当l的斜率不存在时，l：x=2成立；若l的斜率存在时，设l：y-2=k（x-2），由d=1，求出k，由此能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）由题意设圆心C（a，-a），
则C到直线x-y-4=0的距离等于|CO|，
∴d=

|2a-4|

2

=

a2+a2

，解得a=1，
∴其半径r=

2a2

=

2

∴圆C的方程为（x-1）²+（y+1）²=2．（6分）
（2）由题知，圆心C到直线l的距离d=

r2-( |AB| 2 )2

=1．（8分）
当l的斜率不存在时，l：x=2成立，（9分）
若l的斜率存在时，设l：y-2=k（x-2），
由d=1，得

|3-k|

1+k2

=1，解得k=

4

3

，
∴l：4x-3y-2=0．（11分）
综上，直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0．（12分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．