Question

已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(，－1)，m·n＝1，且A为锐角．

(1)求角A的大小；

(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．

 

Answer 1

【答案】

(1)A＝.(2)函数f(x)的值域是.

【解析】

试题分析：(1)由题意得m·n＝sinA－cosA＝1，

2sin＝1，sin＝，

由A为锐角得，A－＝，∴A＝.

(2)由(1)知cosA＝，

所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin²x＋2sinx

＝－2²＋.

因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，

因此，当sinx＝时，f(x)有最大值，

当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，

所以所求函数f(x)的值域是.

考点：平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质，二次函数的图象和性质。

点评：中档题，本题较为典型，即首先通过平面向量的坐标运算，得到三角函数式，利用和差倍半的三角函数公式，将三角函数式“化一”，进一步研究函数的图像和性质。本题利用换元思想，将问题转化成二次函数在闭区间的最值问题，使问题更具综合性。