Question

10．已知$\overrightarrow{a}$=（2，-4），$\overrightarrow{b}$=（-1，3），$\overrightarrow{c}$=（6，5），$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$．
（1）求$\overrightarrow{p}$的坐标；
（2）若以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为基底，求$\overrightarrow{p}$的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据向量坐标的基本运算即可求$\overrightarrow{p}$的坐标；
（2）若以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为基底，设$\overrightarrow{p}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，利用向量相等的条件解方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2，-4），$\overrightarrow{b}$=（-1，3），$\overrightarrow{c}$=（6，5），
∴$\overrightarrow{p}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$=（2，-4）+2（-1，3）-（6，5）=（2-2-6，-4+6-5）=（-6，-3）．
即$\overrightarrow{p}$的坐标为（-6，-3）；
（2）若以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为基底，
设$\overrightarrow{p}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，
即（-6，-3）=x（2，-4）+y（-1，3）=（2x-y，-4x+3y），
即$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=-6}\\{-4x+3y=-3}\end{array}\right.$，解得x=$-\frac{21}{2}$，y=-15，
则$\overrightarrow{p}$=$-\frac{21}{2}$$\overrightarrow{a}$-15$\overrightarrow{b}$．

点评 本题主要考查向量坐标的求解以及向量基本定理的应用，利用待定系数法解方程是解决本题的关键．