Question

19．已知a为常数，若曲线y=ax²+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{1}{2}$]
• C． [-1，+∞）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 根据题意，曲线y=ax²+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，转化为f′（x）=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．

解答 解：令y=f（x）=ax²+3x-lnx，
由题意，x+y-1=0斜率是-1，则与直线x+y-1=0垂直的切线的斜率是1，
∴f′（x）=1有解
∵函数的定义域为{x|x＞0}，
∴f′（x）=1有正根，
∵f（x）=ax²+3x-lnx，
∴f′（x）=2ax+3-$\frac{1}{x}$=1有正根
∴2ax²+2x-1=0有正根
∴2a=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1
∴2a≥-1，
∴a≥-$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 本题考查导数知识的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，属于中档题．