Question

14．设M=（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1），且a+b+c=1，（a、b、c∈R⁺），则M的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{1}{8}$]
• B． [$\frac{1}{8}$，1]
• C． [1，8]
• D． [8，+∞）

Answer 1

分析 将M中$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{c}$的分子1用a+b+c表示；通分，利用基本不等式求出M的范围．

解答 解：M=（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）
=（$\frac{a+b+c}{a}$-1）（$\frac{a+b+c}{b}$-1）（$\frac{a+b+c}{c}$-1）
=$\frac{（b+c）（a+c）（a+b）}{abc}$≥$\frac{8\sqrt{bc}•\sqrt{ac}•\sqrt{ab}}{abc}$=8．
故选D．

点评 本题考查等量代换的方法、考查利用基本不等式求函数最值需满足的条件：一正、二定、三相等．