Question

已知函数f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos2

x

2

．
（Ⅰ）当x∈[-

π

2

，

π

2

]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象按向量

a

=（h，-

3

2

）（0＜h＜π）平移，使得平移后的函数g（x）的图象关于直线x=

π

4

对称，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用辅助角公式把所给式子化成一个角的一个三角函数值，然后根据自变量x的取值范围，得x+

π

3

的范围，根据正弦函数的图象得sin（x+

π

3

）的范围，最后得整个式子的范围，即函数f（x）的值域；
（Ⅱ）由向量的坐标可知，函数f（x）的图象向左平移h个单位，再向下平移

3

2

个单位，根据平移的规律得平移后的解析式，把x-h+

π

3

看为一个整体，令其等于正弦函数的对称轴，当x=

π

4

时，求出h的值，得具体解析式，把角代入正弦函数的增区间，得x的范围，即函数g（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos2

x

2

=

1

2

sinx+

3

2

(1+cosx)=sin(x+

π

3

)+

3

2

∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，∴x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴sin(x+

π

3

)∈[-

1

2

，1]
∴f(x)∈[

3 -1

2

，

3 +2

2

]
所以函数f（x）的值域是[

3 -1

2

，

3 +2

2

]
（2）平移后的函数为g(x)=sin(x-h+

π

3

)，
令

π

4

-h+

π

3

=

π

2

+kπ，得h=

π

12

-kπ（k∈Z），
∵0＜h＜π，∴h=

π

12

故y=sin(x+

π

4

)，由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

得2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z
所以函数g（x）的单调增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z

点评：求三角函数值域时，一般要把式子化为y=Asin（ωx+φ）的形式，从x的范围由里向外扩，利用数形结合，一直扩到Asin（ωx+φ）的范围，即函数f（x）的值域；求y=Asin（ωx+φ）的对称轴方程、单调递增区间时，要把ωx+φ看作整体，分别代入正弦函数的对称轴方程、单调递增区间，分别求出x得函数f（x）的对称轴方程、单调递增区间，这儿利用整体的思想．本题特色，结合了图象的平移．