Question

已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1）
设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和S_n，当时，求S_n．

Answer 1

解：（1）由题意f（a_n）=4+2（n-1）=2n+2，
即log_ma_n=2n+2
∴a_n=m²ⁿ⁺²
∴
∵m＞0且m≠1，∴m²为非零常数，
∴数列{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列
（2）由题意b_n=a_nf（a_n）=m²ⁿ⁺²log_mm²ⁿ⁺²=（2n+2）•m²ⁿ⁺²，
当
∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²①
①式两端同乘以2，得2S_n=2•2⁴+3•2⁵+4•2⁶+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³②
②-①并整理，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³
=-2³-[2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²]+（n+1）•2ⁿ⁺³
=
=-2³+2³（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺³=2ⁿ⁺³•n
分析：（1）利用等差数列的通项公式求出f（a_n），利用对数的定义求出a_n，求出相邻两项的比，利用等比数列的定义得证．
（2）求出b_n，将m的值代入，利用错位相减法求出数列的前n项和S_n．
点评：要证明一个数列是等差数列（等比数列）一般利用两个特殊数列的定义；求数列的前n项和，首先判断数列的通项的特点，再选择合适的方法．