Question

【题目】设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，

（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

（2）若，弦AB是否过定点，若过定点，求出该定点，若不过定点，说明理由.

Answer 1

【答案】（1），证明见解析 （2）过定点，（0,）

【解析】

(1)对直线的斜率是否存在进行讨论，利用中垂线的性质列方程组求出直线的截距b的范围，从而得出结论；

(2)设AB的方程为：y=kx+b，联立方程组，根据根与系数的关系和求出b的值，从而得到定点的坐标.

解：（1）∵抛物线，即，

∴焦点为

(i)直线的斜率不存在时，显然有

(ii)直线的斜率存在时，设为k，截距为b

即直线：y=kx+b，由已知得：

即的斜率存在时，不可能经过焦点

所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F

（2）设直线：y=kx+b，

联立方程组：

若，则

过定点（0,）. ，

因此直线AB过定点.